Способ решения уравнения 5-ой степени с целочисленными коэффициентами.

 

x⁵ + Ax⁴ + Bx³ + Ex² + Fx + D = 0       (77)     ó

ó (x + a)(x⁴ + bx³ + ex² + fx + d) = 0   (78)  ó  x⁵ + (a + b)x⁴ + (ab + e)x³ + (ae + f)x² + (af + d)x + ad = 0

A = a + b      (79)         b = A – a

B = ab + e    (80)         B = a(A – a) + e         a² – Aa + B – e = 0     (84)

E = ae + f     (81)

F = af + d     (82)         F = af + D/a               fa² – Fa + D = 0         (85)

D = ad          (83)         d = D/a      (86)

Решение  (84) :         A² – 4B + 4e = n²          (87)

                                                                             (88)

 

Решение  (85) :                F² – 4Df = m²                (89)

                                                                            (90)        (90) –> (89) :  (91)

Приравнивая (87) и (91) :  4D = (A ± n)(F m m)       (92)

Подставляя (87), (88), (90)  в  (81),  получаем:   (92)

С использованием формулы (88) и (87) заполняем таблицу:

n	+ n1	– n­1	+ n2	– n2	+ n3	– n3
e
a

 

Если величина А – чётное число, то е = n²/4 – (A/2)² + B ,  где n – возрастающий ряд чётных чисел, начиная с нуля. Если А – нечётное число, то n – выбирается из возрастающего ряда нечётных чисел, начиная с единицы.

Из (81), (82), (83), (88) имеем:  f = E – ae ;  d = F – af.

D = a(F – a(E – ae))

Из (82) имеем: F/a – d/a = f ,  подставляя  в  (81),  получаем:  E = ae + F/a – d/a = ae + F/a – D/a²     (93)

Если уравнение (77) имеет 5 или 3 вещественных корней, то для получения полного решения уравнения (77) достаточно вычислить три значения  а₁ , а₂ , а₃ , а остальные два значения  а₄ , а₅  вычисляются из квадратного уравнения (см. ниже пример).

Подставляя полученные значения а из вышеприведённой таблицы в формулу (87) или (93) , находим значения a  , при которых выполняются уравнения (87) или (93).

 

Пример: (x + 4)(x – 4)(x + 5)(x + 6)(x – 6) = 0 ó x⁵ + 5x⁴ – 52x³ – 260x² + 576x + 2880 = 0

 = (5 ± n)/2         =

n	1	– 1	3	– 3	5	– 5	7	– 7
e	– 58		– 56		– 52		– 46
a	3	2	4 √	1	5 √	0	6 √	– 1

 

E = ae + F/a – d/a = ae + F/a – D/a² = ae + 576/a – 2880/a²          a ≠ 0

E = – 260 ≠ 3·(-58) + 576/3 – 2880/9 = – 302

– 260 ≠ 2·(-58) + 576/2 – 2880/4 = -540

– 260 = 4·(-56) + 576/4 – 2880/16 = -260

– 260 ≠ 1·(-56) + 576/1 – 2880/1

– 260 = 5·(-52) + 576/5 – 2880/25 = -260

– 260 = 6·(-46) + 576/6 – 2880/36 = -260

а₁ = 4, а₂ = 5, а₃ = 6,   (x + 4)(x + 5)(x + 6)(x² + Kx + L) = (x³ + 15x² + 74x + 120)(x² + Kx + L) =

x⁵ + (15 + K)x⁴ + (L + 15K + 74)x³ + (15L + 74K + 120)x² + (120K + 74L)x + 120L =

x⁵ + 5x⁴ – 52x³ – 260x² + 576x + 2880 = 0

15 + K = 5      K = -10        L = 2880/120 = 24

x² – 10x + 24 = 0        x₄ = 6  x₅ = 4         a₄ = -6  a₅ = -4

Уравнение примера решено.

11.10.2003