12.Решение уравнения степени n с целыми вещественными коэффициентами и целыми вещественными корнями.

 

Последние четыре корня могут быть корнями квадратных уравнений, на которые может быть  разложены уравнение четвертой степени.

Уравнение степени n представим в виде:

xⁿ + Ax^n–1 + Bx^n–2 + … + Kx² + Lx + D = 0                 (12.1)

(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)…(x – x_n-1)(x – x_n) = 0                (12.2)

При x = x_i , где x_i – корень уравнения (12.1), уравнение (12.1), (12.2) обращается в нуль.

При делении всего уравнения (12.1) на  x^k ≠ 0 оно не меняет своих корней. При  k < n  первые члены уравнения (12.1) имеют вид x^{n – k – i} , а последний член уравнения имеет вид: D/x^k .

                (12.3)

Например, уравнение четвертой степени после деления на х² приобретает вид:

x² + Ax + B + E/x + D/x² = 0.

При подстановке x = x_i , где x_i – один из корней уравнения имеем:  x_i² + Ax_i + B = N, где N – целое число, поскольку x_i , A , В – целые числа по условию. Тогда  . Если же x_j не является корнем, то:

x_j⁴ + Ax_j³ + Bx_j² + Ex_j + D ≠ 0 , а равно какому-то числу N_j , а величина , как правило, нецелое число.

Поскольку |D| = x₁∙x₂∙x₃∙ … ∙ x_n , то значение x_i нужно брать из делителей числа |D|.

На примере уравнения шестой степени покажем вид уравнений, получающихся при делении этого уравнения на x^k :               x⁶ + Ax⁵ + Bx⁴ + Ex³ + Fx² + Gx + D = 0

  (12.4).               (12.5).           (12.6).

     (12.7).

Последняя ступень будет выглядеть так:     (12.8).

В начале решения надо разложить коэффициент D на все возможные делители, которые могут быть корнями уравнения (12.1).           |D| = x₁ ∙ x₂ ∙ x₃ ­∙ x_{4 ­­}∙ … ∙ x_n .

Из делителей числа D можно выделить самые большие и редко повторяющиеся (одиночные) и начать  проверку с них. После подстановки  ± x_i  в уравнение (12.4) нужно выделить после деления из частных остатки от деления в виде правильных дробей со знаками + или – , целые части от деления нужно отбрасывать, а суммировать только остатки. Если сумма правильных дробей при знаках предполагаемых корней  + и –  не равна целому числу, то это значение x_i не является корнем уравнения (12.1), т.е. после применения уравнения (12.4) можно отделить большинство не корней от корней.

Если сумма остатков равна целому числу как при знаке + , так и при знаке «–» корня x_i , то нужно углублять поиск, переходя к подстановке в следующие ступени уравнений ((12.5), (12.6) и т.д.).

Если сумма остатков равна целому числу, например, только при плюсе, а при минусе не равна целому числу, то этот знак и модуль числа являются знаком и модулем корня.

Если и при знаке – , и при знаке + выполняются уравнения ((12.5), (12.6) и т.д.) до самого высокого уровня, то это значит, что этот корень так называемый «парный», т.е. это два разных корня, модули значений которых одинаковы, а знаки разные.

Двойные (кратные) корни удобнее выделять после отделения от решаемого уравнения части с уже определёнными корням.

Для примера найдём корни уравнения восьмой степени:

x⁸ – 2x⁷ – 146x⁶ + 256x⁵ + 6553x⁴ – 6950x³ – 127152x² + 31392x + 725760 = 0

      A        B           E            F             G               H               K               D

Найдём делители коэффициента D :

725760 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 2⁸ ∙ 3⁴ ∙ 5 ∙ 7 .

Аналогично находим делители остальных коэффициентов для того, чтобы заранее знать уровни проверки:

K = 31392 = 2⁵ ∙ 3² ∙ 109;      H = 2⁴  ∙ 9 ∙ 883;   G = 6950 = 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 139;

Берём число ±7 и подставляем его вместе с коэффиентами в уравнение (12.4).

,              ,          x₁ = +7  – первый корень решаемого уравнения.

Проверим число ± 5 :

 ,       x₂ = – 5 – второй корень.

Аналогично находим: x₃ = +3; x₄ = + 6; x₅ = –4 ; x₆ = – 9; x₇ = +8 ; x₈ = + 4.

Этот способ можно использовать также для решения уравнений третей и четвертой степени.