Таблично - аналитический способ решения кубических уравнений.

После преобразования кубических уравнений по формуле

                       (89)               или                (90),             (91)

получаем после умножения всего уравнения (1) на число 27 (чтобы отсутствовали дробные коэффициенты):

y³ + (9B – 3A²)y + 2A³ – 9AB + 27D = 0        (92)

 

B_y = 9B – 3A²           (93)

 

D_y = 2A³ – 9AB + 27D = 27D – A(9B – 3A²) – A³ = 27D - AB_y – A³       (94)

 

y³ + B_yy + D_y = 0        (95)     назовем его условно СКУ(сокращенное кубическое уравнение). 

 

A = a + b                 A = 0;      a = -b

B_y = ab + d              B = -a² + d              d = a² + B_y = d₁    (96)

D_y = ad                    d = D_y/a = d₂     (97)

 

Представим корень уравнения (95) в виде выражения     (98).

Подставляем уравнение (98) в (95), получаем:

 

.

После преобразований получаем:    (99)  – получили универсальное кубическое

уравнение (УКУ). K_y =  - коэффициент УКУ. Это уравнение справедливо при любых (вещественных) значениях коэффициентов A, B, D   уравнения  (1) и при любых (вещественных и мнимых) корнях уравнения (1).

 

   Возьмем  конкретные числовые примеры уравнений СКУ  и вычислим значения K_y и n :

 

(x – 9)(x –1)(x + 10) = x³ – 91x + 90 = 0

 

K_y = = 4,5312 .  Из формулы (98) n = = –10 / –4,4314 = 2,2314 .

 

(x - 5)²(x + 10) = x³ – 75x + 250 = 0

 

K_y = = 1,88988          n = = 1.58740105         - значения коэффициентов для двойных корней,

являются границами между мнимыми и вещественными корнями.

 

(x – 99)(x – 1)(x + 100) = x³ – 9901x + 9900 = 0

 

K_y = =21,4744606             n = = 4.65716475

 

(x² – 10x + 100)(x + 10) = x³ + 1000 = 0

 

B_y = 0       x =          n = 1         K_y = 0

 

В случае n² >> 1/n ,  K_y = n²,  .

В случае n² << 1/n же,  .

Пример.

 

Решение кубического уравнения с нецелыми коэффициентами способом приведения к УКУ (способ Хайретдинова-Мусина):

 

x³ – 8.91x² – 11.8105x + 135.694 = 0

 

Приведение к СКУ: x = y + 8.91/3 = y + 2.97 .

 

После подстановки получаем: y³ – 38.273y + 48.220656 = 0.

 

B_y = - 38.273          D_y = 48.220656

 

K_y = = = 2,888945609

Используем таблицу коэффициентов УКУ и формулу интерполяции:

 

n = 1.85     K₀ = 2.88195

 

Δn = = 0.00175

 

n = n₀ + Δn = 1.85 + 0.00175 = 1.85175

 

y₁ = n= 1.85175

 

Составляем полное СКУ из коэффициентов a = - y₁ , d_y = D/a :

 

(y + 6.74)(y² – 6.74y +  48.220656 / 6.74) = 0

 

y_2,3 = 3.37 = {5.42; 1.32}

 

x = y + 2.97             x₁ = – 6.74 + 2.97 = – 3.77

                                 x₂ = 8.93

                                 x₃ = 4.39, т.е.:

 

(x – 8.39)(x – 4.29)(x + 3.77) = x³ – 8.91x² – 11.8105x + 135.694 = 0 .

 

Таблица значений n(x) и K_y(y) для УКУ:

 

Опубликовано 27.12.2003