Продолжение таблично - аналитического способа.

 

Для случая, когда B_y > 0 удобно представить формулу (99) в виде:

 

  , тогда:              или          (100).

 

Из формулы (98) получаем:   (101).

Ниже изображены графики УКУ, построенные по формулам (99) и (100):

 

 

Ниже представлена таблица характерных точек для УКУ по формуле (99):

 

n2 – 1/n	n	10	10.003335	5	4.6571647	3	2.231443167
	f(n)	99.9	99.96675	24.8	21.47446	8.667	4.531198133
					xmax/xmin = 102		xmax/xmin = 10

 

n	2	1.587401052	1	n > 6	n < 0.1
f(n)	3.5	1.889881575	0	n2
		(двойной корень)	By = 0

 

Получим формулы для подсчёта n в опорных точках (из таблиц или другим способом выбранные точки).

 

Пусть n = n₀ + Δn ,   

Из справочника по математике (Бронштейн И.Н., Семендяев К.А., Справочник по математике, 1955, изд.5,

 

608с.) берём разложение (325с.):  (1 + x)^{– 1} = 1 – x + x² – x³ + x⁴ – …  Ограничиваемся первыми тремя членами

 

ряда.       (102).

 

При линейном приближении           (103).

При квадратичном приближении решаем квадратное уравнение (102).

 

Интересен случай когда n₀ = 1 , f(n₀) = 0 , тогда:     (104);

     (105).

Формула (105) дает достаточно точные результаты при Δn = ± 0,2.

 

Пусть n = 1,2 , тогда f(n) = 1.44 – 1/1.2 = 0.606667 , Δn = f(n)/3 = 0.20222 ,  n = 1 + 0.2022 = 1.20222 ,

 

,  т.е. ошибка в определении  n   0.185 %.

 

Подставляем в формулу (98) в формулу (61):       ,    (x + a)(x² – ax + d)  

 

Учитывая, что знаки  a  и  y₁  разные, , получаем квадратный трёхчлен в виде:

Решение полученного квадратного уравнения является решением уравнения (99):

 

 (106) —   корни уравнения (99).

 

Подставляем  1/n = m ,  получаем корни уравнения (100):

 

 (107).

 

При  —  условие наличия двойного корня,  .

 

Получим формулу для уточнения значения m при табличном задании УКУ по ф-ле (100) при m ≥ 1 ,  B_y ≥ 0:

 

,      m = m₀ + Δm .

 

Из справочника по математике имеем:     Ограничиваемся первыми тремя членами ряда.

 

 

В линейном приближении        (108).

 

Таблица значений УКУ по формуле (100):

 

Для случая B_y < 0 можно получить ограниченно универсальное кубическое уравнение (ОУКУ) в виде:

 

x³ + B_yx + D_y = 0               

 

Поскольку знак корня x₁ обратен знаку D_y , то:       (109);

;            .

 

Для единообразия знак D_y и B_y не будем учитывать, тогда уравнение ОУКУ примет вид:

 

     (110);  а знак D_y будет учитываться в формуле (109).

 

Составляем таблицу ОУКУ,   f(n) = n³ – n :

 

 

Подсчитаем  n  и  f(n)  для опорной точки:

 

(x – 10)(x + 5)² = x³ – 75x – 250 = 0

 

Получаем:  ;  

 

Выведем формулу для определения значения  n  в промежуточных точках таблицы ОУКУ:

 

f(n) = n³ – n                  n = n₀ + Δn                    n₀ = 1

 

f(n) = 1 + 3Δn + 3Δn² + Δn³ – 1 – Δn = 2Δn + 3Δn² – Δn³

 

Возьмём случай, когда Δn³ << 3Δn² , получаем:            3Δn² + 2Δn – f(n) = 0

 

      (111);               n = n₀ + Δn = 1 + Δn ;

 

Для случаев, когда f(n) < 0.38490018 (все корни вещественные, вплоть до двойных корней), ошибка в

 

определении n по формуле (111) не превышает 0,109%  ( n_{истинное}= 1,154700538,   n = 1.1559633).

 

 

Для решений кубических уравнений можно использовать также третий вид УКУ, который

 

получается после подстановки     (112)    .

 

x³ + B_yx + D_y = 0 ;           ;                                 

 

    (113)    —     получили третий вид УКУ (УКУ-3).

 

Видоизменение этого уравнения после подстановки   n = 1 – k  (k < 1):

 

                (114)

 

График функции (113) в промежутке [-5;1)È(1;5] :

 

Опубликовано 5.01.2004. Исправлено 5.02.2004