Метод графического решения кубического уравнения  (1).

Из системы уравнений (3), (4), (5) имеем B = a ( A – a) + d , отсюда d = a² – Aa + B   (40)      (41) .

Уравнение (40) можно представить в виде  .

При построении графика уравнения (40) и (41) можно воспользоваться таблицами:

 

a	0	A
d	B	B

 

 

 

 

 

 

     

A	½A	A		D	1	2	3	½D	⅓D
d				1	D	½D	⅓D	2	3

 

 

 

 

 

Пример: решим графически уравнение x³ + 6x² – x – 30 = 0 .

Из этого уравнения имеем, согласно уравнению (40), (41) : d = a² – 6a – 1 ,  d=

 

Согласно графикам решениями уравнения являются точки пересечения графиков а₁ = -2, d₁= 15; a₂ = 3, d₂ = -10;

a₃ = 5; d₃ = -6.

Коэффициент b можно получить графическим построением по формуле  b = A – a  или вычислить непосредственно по этой же формуле.

b₁ = 6 – (-2) = 8 ;    b₂ = 3 ;  b₃ = 1 .    

Корни: -5, -3, 2 .

Частные случаи при решении уравнения (1).

Из системы уравнений (3), (4), (5) можно вывести уравнение относительно коэффициента b :

B = b (A – b) +          b³ – 2Ab² + (A² + B) b – (AB – D) = 0   (42)

Иногда свободный член уравнения (42) можно представить в виде произведения трёх простых чисел, и, соответственно, эти числа будут являться решением уравнения (42).

При решении систем уравнений (3), (4), (5) можно использовать подстановку: c = nb – ma , где n и m – любые целые числа (по выбору).

              (43)    b = A – a =   d = B – ab = B -  (44)

 (45)        Приравнивая формулы (44), (45) получаем:

с³ + A(m – 2n)c² + (B(m + n)² – A²n(2m – n))c = ABn(m + n)² – A³n²m – D(m + n)³

 

D_n,m = ABn(m + n)² – A³n²m – D(m + n)³   (46)

 

На примере покажем, как подбором коэффициентов n и m  решение кубического уравнения сводится к решению квадратного уравнения.

Пример: (x + 3)(x – 4)(x – 5) = x³ – 6x² – 7x + 60 = 0        

 

a	b	d	A = -6 B = -7 D = 60	b - a	b + 3a	2b – a	-5b + a
3 -4 -5	-9 -2 -1	20 -15 -12		-12    2    4	0 -14 -16	-21 0 3	48 6 0
				n = 1 m = 1	n = 1 m = -3	n = 2 m = 1	n = -5 m = -1

Ниже мы даём формулу, объединяющую формулы (20), (23), (29):

   (47)

Без третьего члена это свободный член уравнения графика 3. Со знаком  + (вместо ) это свободный член уравнения графика 2. Со знаком  «–» это свободный член уравнения графика 4.

24.09.2003

Графо - аналитический способ решений кубических уравнений