Улучшение графо - аналитического способа решений кубических уравнений.

В случаях, когда все коэффициенты уравнения (1) одного знака, возникает трудность с определением точек пересечения двух кривых по формуле (40) и (41) .

Пример 1:      (x – 2)(x - 3)(x - 4) = x³ – 9x² + 26x – 24 = 0

                     d₁ = a² + 9a + 26              d₂ = -24/a

Пример 2:      (x + 1)(x + 2)(x + 3) = x³ + 6x² + 11x + 6 = 0

                     d₁ = a² – 6a + 11              d₂ = 6/a

Можно трансформировать уравнение (1) к такому виду, когда корни разного знака и по модулю приблизительно одинаковы. Из уравнения (46) коэффициент при c² равен A(m - 2n)  и он будет равен нулю при m = 2n , и, в частности, при m = 2 n =1 .

(x + a₁)(x + a₂)(x + a₃) = x³ + (a₁ + a₂ + a₃)x² + (a₁(a₂ + a₃) + a₂a₃)x + a₁a₂a₃ = x³ + Ax² + Bx + D = 0

A = a₁ + a₂ + a₃ = a + b

B = a₁(a₂ + a₃) + a₂a₃ = ab + d

D = ad = a₁a₂a₃

b₁ + b₂ + b₃ = A – a₁ + A – a₂ + A – a₃ = 3A – (a₁ + a₂ + a₃) = 2A

c₁ = b₁ – 2a₁             c₁ + c₂ + c₃ = b₁ + b₂ + b₃ - 2a₁ - 2a₂ - 2a₃ = 2A – 2A = 0                     c₃ = (–c₁) + (–c₂)

В систему ур-ний (3), (4), (5) вводим новый коэффициент c = b – 2a или b = 2a + c.

После подстановок получаем:   (50)               (51)        (52)

  (53)              (54)

c³ + (9B – 3A²)c + 27D –9AB + 2A³ = 0   (55)         B_C = 9B – 3A²    (56)      D_C = 27D –9AB + 2A³   (57)

c³ + B_C · c + D_C = 0   (58)        A = 0

c² + B_C = – D_C / c      (59)                           y₁ = c² + B_C       y₂ = – D_C / c

Пример 3:         (x + 1) (x + 8) (x + 6) = x³ + 15x² + 62x + 48 = 0

B_C = 9B – 3A² = 9·62 – 3·15² = - 117

– D_C = – 27D + 9AB – 2A³ = –27·48 + 9·15·62 – 2·15³ = 324

c² – 117 = 324/c

c₁ = 12; c₂ = - 9; c₃ = -3.

Из графика видно, что: 1) –(с₂ + с₃) = с₁ ;  2) Значение большего корня находится правее оси у , а значения двух меньших корней находится левее оси у .

Рассмотрим ф-лу  x³ + Bx + D = 0     (59)

Согласно ф-лам (3), (4), (5) :

A = a + b = 0           a = -b       b = -a

B = ab + d = -a² + d                 d = a² + B      (60)

D = ad

При подстановке x = -x₁  в  уравнение  (59)  имеем :   -x₁³ – Bx₁ + D = 0         x₁³ + Bx₁ – D = 0

т. е. при  изменении знака  D  меняется знак корней на обратный.

Таким образом, ур-ние  x³ + Bx ± D = 0  сводится к ур-нию: x³ + Bx = |D| .

Знак большего из корней x₁  соответствует знаку D.

x³ + Bx + D = (x + a)(x² – ax + d)   (61)    или      = (x – a)(x² + ax + d)     (62)

Следует заметить, что после сравнения ур-ния (1) после преобразования   z = x + A/3  и уравнения (59) можно выявить, что c = 3z = 3x + A .

x³ + Bx + D = (x + a)(x² – ax + d)

В уравнении  (60)  обозначим   a² + B = d₁   (63)        D/a = d₂    (64)

d₁ = d₂        a_t² + B = D/a_t       (65)

Введём обозначения:  a_t = a₀ + Δa     (66) , где   a_t  —  точное значение коэффициента a , удовлетворяющее     ур-нию  (65) ,  a₀ —  приближённое к точному значение,  Δa   —  отклонение (разность) между точным значением и приведенным  значениями. Подставляем  (66)  в  (65) ,  имеем   (a₀ + Δa)² + В = D / (a₀ + Δa)

Δa³ + 3a₀Δa² + 3a₀²Δa + a₀³ + Ba₀ + BΔa = D

Δa²(3a₀ + Δa) + Δa(3a₀² + B) + Ba₀ + a₀³ – D = 0   (67)

Введём обозначение: 3a₀ + Δa = K    (68)                  3a₀² + B = L     (69)               Ba₀ + a₀³ – D = M     (70)

KΔa² + LΔa + M = 0        (71)

  (72)

По ф-ле    a_п = a₀ + Δa     (73)     определяется первое приближение к точному значению коэффициента a_t .

При вычислении коэффициента  К  вместо значения Δa подставляется измеренная по графику величина разности a_t – a₀ ,  где  a_t  —   измеренное по графику точное значение абсциссы в точке пересечения графиков d₁ и d₂ ,   a₀  —  вычисленное или измеренное по графику приближённое значение коэффициента.

При Δa << 3a₀  значение  К = 3a₀ .

Ниже показаны графики, построенные по ф-лам  (63) , (64)  при разных значениях коэффициента В.

Пример 1:  d₁ = a² – 20     d₁ = 0      a₀² + B = 0         (74)

Пример 2:   B = 0       d₁ = a²        d₂ = D/a             a² = D/a        a³ = D           (75)

Пример 3:    B > 0       при  a = 0    d₀ = B           d₂ = B = D/a₀       a₀ = D/B       (76)

Значения   a₀   можно выбирать как по ф-лам (74) , (75) , (76) , так и непосредственно считывая по графику значение абсциссы точки пересечения кривых (63), (64).

07.10.2003