Частные случаи решения кубического уравнения через
уравнения четвертой степени.
(x + a1)(x2 +
bx1 + d1) = x3 + A1x2 +
B1x + D1 = 0
(x + e)(x + a1) = x2
+ (e + a1)x + ea1 = x2 + ax + d
(x2 + ax + d)(x2
+ bx + g) = x4 + Ax3 + Bx2 + Ex + D = 0
(x + e)(x3 + A1x2
+ B1x + D1) = x4 + (A1 + e)x3
+ (eA1 + B1)x2 + (eB1 + D1)x
+ eD1 = 0
|
e = +1 |
e = –1 |
e = 0 |
e = – A1 |
|
a = a1 + 1 |
a = a1 – 1 |
a = a1 |
a = a1 – A |
|
d = a1 |
d = – a1 |
d = 0 |
d = – a1A1 |
|
A = A1 + 1 |
A = A1 – 1 |
A = A1 |
A = 0 |
|
B = A1 + B1 |
B = B1 – A1 |
B = B1 |
B = B1 – A21 |
|
E = B1 + D1 |
E = D1 – B1 |
E = D1 |
E = D1 – A1B1 |
|
D = D1 |
D = – D1 |
D = 0 |
D = – A1D1 |
|
D1 > 0 |
D1 < 0 |
|
D1 < 0 |
A = A1 + e A = 0 e = –A1
B = eA1 + B1 B = 0
e = – 
E = eB1 + D1 E = 0
e = –
D = eD1 D = 0 e = 0
Случай A = 0 (e = – A1)
Формула (13) приобретает
вид: M =
+ B (28). Формула (23) приобретает вид: 2E = 
(29)
Формула (12) запишется
в виде: a = 
(30) b = –
(31)
Пример: (x + 5)(x2 – 6x + 15) = x3 – x2 – 15x + 75 = 0 B = –1 ; E
= –15 ; D = 75 .
e = – A1 = – (–1) = + 1
; (x + 1)(x3 – x2
– 15x + 75) = x4 – 16x2 + 60x + 75 = (x2 – 6x
+ 15)(x2 + 6x + 5) = 0
По формуле (24)
имеем |M|
> 2
= 2
= 17,3 ; |M| > 18
По формуле (26)
имеем n > 
= 11,5 n >
12
M = 
– 16
|
n |
0 |
2 |
4 |
12 |
|
M |
-16 |
-15 |
-12 |
20 |
Согласно расчётов |M| > 18 , и варианты n = 0 , 2 , 4 исключаем.
По формуле (29) проверяем n = 12 :
2·60 = 
; 120 = +12·10 =
120
n = +12 ; M = 20
По
формуле (30) а = 12 / 2 = 6 . По формуле (31) b = – 6 .
Рассчитываем
g по
формуле (14), а знак перед корнем берём соответствующий знаку n ,
полученному при расчёте по формуле (29).
g = 
= 15 ; d = 
= 5
Составляем уравнение четвертой степени в соответствии с полученным коэффициентами a, b, d, g :
(x2 – 6x + 15)(x2 + 6x + 5) = 0
Первое квадратное
уравнение имеет мнимые корни, а второе корни –1 и –5 .
Исключаем корень x = –1 , а
остальные множители дают нам исходное кубическое уравнение:
(x + 5)(x2 – 6x + 15) = x3 – x2 – 15x + 75 = 0
19.09.2003
