Способ
решения уравнения четвертой степени.
x4 + Ax3 + Bx2
+ Ex + D = 0 (1)
Уравнение (1)
можно представить в виде: (x2 + ax + d)(x2 + bx + g) = (2) = x4 + (a + b)x3 + (ab + d + g)x2 + (ag + bd)x + dg = 0 (3)
Из (1) и (3) имеем систему уравнений:
A = a + b (4) b = A – a (8)
B = ab + d +g (5) d + g = B – a(A – a) a2 – Aa + B – (d+g) =
0 (9)
E = ag + bd (6) E = a
+ (A – a)d (A – a)d2 – Ed + aD = 0 (10)
D = gd (7) g
= 
d = 
ag2 – Eg + (A – a)D = 0 (11)
Решение
уравнения (9) : a = 
A2 – 4B + 4(d + g) = n2 a
= 
(12)
d + g = 
+ B = M (13)
d + 
= g + 
= M d2
– Md + D = g2 – Mg + D = 0
d или g = 
(14)
Решение
уравнения (10) : d = 
d = 
Решение
уравнения (11) : g = 
g = 
E2 – 4a(A – a)D = m2 4Da2 – 4ADa + E2 – m2 = 0 a = 
=
= 
= k2 a =
(15)
Пример:
(x + 2)(x + 3)(x + 5)(x – 2) = (x2 + 5x +6)(x2 + 3x – 10) = (x2 + 7x + 10)(x2 + x – 6) =
=
(x2 –
4)(x2
+ 8x + 15) = x4
+ 8x3
+ 11x2
– 32x – 60 = 0 .
a5 7 0 |
b 3 1 8 |
d 6 10 -4 |
g -10 -6 15 |
A = 8 B =11 E = -32 D = -60 |
Применяем
формулу (13) : M = 
.
Из формулы
видно, что в качестве n при целочисленных коэффициентах можно подставлять только
целые чётные числа, начиная с нуля.
|
n |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
M |
-5 |
-4 |
-1 |
4 |
11 |
Сравнивая
значения М = d
+ g в первой таблице со значениями М
во второй таблице видно, что решениями уравнения являются значения
M = -4, 4, 11; и,
соответсвенно, значения n = 2, 6, 8.
Подставляя значения n = 2 в формулу (12) a = 
, видно, что
значения n = +2, -6, -8 удовлетворяют
решениям уравнения. Значения d и g найдём по формуле (14):
d или
g = 
= 6 или –10
Проверка правильности решений производится подстановкой значений коэффициентов в формулу (6).
13.09.2003
